这些包括单曲线、复合曲线和反曲线，用于这些曲线的超高，以及作为在渐进均匀的 基础引进超高的一种方法的螺旋曲线。

1 单曲线

单曲线各处具有恒定的半径。曲度通常由100ft的弦对应的圆心角测量。半径R (ft) 与弯曲角度D通过式 (19.1) 相关联

(19.1)

对于达7°的曲线，沿着曲线测量的长度几乎与用100ft的弦测量的相同。因此，曲线 的半径R由式 (19.2) 近似给出

(19.2)

对于大于7°的曲线，半径误差随着弯曲度增大而增大。

在单曲线的中心线位置或其立桩标定线上，如果可能的话，切线 (朝其端部) 应当延 长到一个交叉点PI，并测量交叉角Δ(图19-4)。从曲线起点TC到PI以及从曲线终点 CT到PI的切线长度T，可以由式 (19.3) 确定

(19.3)

从TC到CT的曲线长度 (ft)，由式 (19.4) 近似给出

(19.4)

其中Δ和D以度计。

应当打桩并用大头钉钉住以标记TC和CT。这 可以通过在PI处安置一个经纬仪并沿着每条切线目 测。然后应当将经纬仪移到TC，瞄准PI，并旋转 Δ/2以查对CT。下一步，对于平直曲线每50ft打 一根桩。这种测量法应当与100ft的弦一起用于超 过7°的曲线。在曲线周围标记测点 (间距100ft) 并在每个测点及加上50ft处打桩是良好的习惯 做法。

图19-4 单曲线

对于每根桩，经纬仪偏转角度 (切线与从TC瞄准曲线的线之间的夹角) 等于

(19.5)

式中 L——曲线的长度 (ft);

D——弯曲的度数 (对于以分计的α，乘以60)。

[例] 假设当TC在1108+10.5处，并且弯曲的角度是2°30′时，将一个桩设在 1108+50处。从TC应当用卷尺测量50-10.5=39.5ft的长度，并使经纬仪偏转39.5× 2.5×60/200=30′的角度，以定位在1108+50处的桩。对于随后间距50ft的每根桩，偏 转角的增量是50×2.5×60/200=37.5′。

2 复合曲线和反曲线

一条复合曲线包含两条或更多条单曲线，每条后续的曲线具有与前一曲线共同的切线 (图19-5)。曲线的起点TC与曲线的终点CT与单曲线一样打桩标记，尽管切线长度的计算更加麻烦。经纬仪应当移到每条单曲线的起始点以对其立桩标记。　必须预先已知或定出复合曲线的每条单曲线的度数和圆心角。应当避免 复合曲线，但是它们可以用在超高过多或必须清除 固定物体的地方，这些地方需要这样的曲线 (另见 螺旋线。)

图19-5 复合曲线

图19-6 反曲线

反曲线 (图19-6) 是两条圆心在共同切线的两 侧的单曲线的一个组合。在低速错车和车场轨道中， 反曲线是需要的，但是从不应用于干线。应当在主 线上的两条反向曲线之间放置一条至少100ft长的短 切线，不过更长是更可取的。

3 曲线的超高

曲线外相对于内轨的超高在干线上是理想的。 超高量取决于弯曲的度数和曲线周围的预定运行速 度。不过，超高量通常限于7in，以防止列车停在曲线上时过于倾斜。对于锐角曲线，限 制车速可能是必要的，使其不至于超过抬高曲线相应的速度太多。

在曲线上将要提供的超高量最大值达7in，是一个判断力的问题，以运行经验的变化 为依据。大部分货运铁路有其自己的标准，综合了速度、曲率、失衡量以及螺旋线的长度 来决定容许的超高。然而，在货运线路上的客运列车服务影响超高的要求。通常，特别是 在单轨线路上，不是所有的列车以相同的速度运行在给定的曲线周围。如果为占优势的交 通和速度提供了过小的超高，外轨轨距侧面将出现受到车轮轮缘的过度磨损。如果提供过 多的超高，内轨在轨头朝向轨距和电场侧的顶部将出现过度的变形，有时表面起皱。

平衡速度是在弯曲产生的向外离心力恰好被由曲线升高产生的车辆重量向内的分量所 平衡时的速度。对于一个给定的弯曲度数和标高，其平衡速度计算式如下：

(19.6)

式中 V——平衡速度 (mi/h);

E——外轨的超高 (in);

D——弯曲的度数;

g——轨距 (ft)。

稍微超过平衡速度在容许速度范围内不会引起旅客的不适或其他不合需要的影响。这 个容许速度可以通过对曲线的实际超高增加3in而容易地从式 (19.6) 得到。例如，对于 一条带有5in超高和4.708ft轨距的3°曲线，平衡速度是49mi/h。不过，容许速度是 62mi/h (对于8in超高的平衡速度)。因而，容许速度有3in的超高欠量。这对于美国普 遍使用中的设备类型是可以接受的。这些要求可能随着高速客运列车和 “倾斜列车” 的开 始使用而变化。对于抗侧倾的客车，稍微更高的欠量是容许的 (美国铁道工程协会论文 集，第56卷，P125)。对于一些重心非常高的货运车厢类型 (在钢轨顶部上方超过 96in)，一个稍微更小的欠量可能对于预防脱轨是理想的。

4螺旋线

在切线和单曲线的任一端之间以及在复合曲线的单曲线之间应当放置过渡曲线或螺旋 线。螺旋线的曲率逐渐增加，因此可避免车厢横向位移比率的急剧变化。它也提供了一个 逐渐抬高与弯曲度合理关联的曲线外轨的一种方法。

可以使用若干螺旋线形式。在美国普遍使用的一种是随着长度增大弯曲度。

d=ks (19.7)

式中 d——在任一点的弯曲度;

k——每100ft测点弯曲度的增量;

s——从螺旋线的起始点到100ft测点中任一点的长度。

从螺旋线的起始点TS开始的圆心角δ(角度) (图19-7) 以及从切线TS开始的偏转 角α (角度) 随着长度的平方而变化。

(19.8)

(19.9)

图19-7 在切线和弯曲的轨道之间提供过渡的螺旋线

同样，来自切线或圆曲线的螺旋线偏移量 (ft) 随着距离的三次方而变化。示于图 19-7中的其他关键的要素可以由式 (19.10)～式 (19.13)计算

式中 S——螺旋线在100ft测点中的总长度;

△——螺旋线的总圆心角 (°);

R——圆曲线的半径 (ft);

O——从切线延长到螺旋线中距的圆曲线的偏移量 (ft)。

将经纬仪安置在螺旋线终点SC，从切线到SC的偏转角是Δ的1/3。当经纬仪安置在 SC，对TS取后视，必须旋转2Δ/3的偏转角以使得视线与圆曲线相切。然后关于圆曲线 的这个偏转应当从切线处转移开。

在螺旋线上应当如同圆曲线一样每50ft打桩。应当计算偏转角以在偶数测点加上50 处置桩。或者如果更喜欢简化偏转的计算，螺旋线可以分成相等长度的节段，比如说10。 然后，可以对第一节段计算偏转角，乘以4 (2的平方) 得到第二个偏转角，乘以9 (3的 平方) 得到第三个，乘以16 (4的平方) 得到的第四个，等等。

为了用在SC的水准仪在距离s处为螺旋线打桩，从为相同长度的延展圆曲线计算的 偏转角中减去由方程 (19.9) 计算的偏转角，然后从SC处的切线旋转这个偏转角以定位 每根桩。

螺旋线的长度应当是在进入或离开曲线时能给旅客一个时间间隔以适应不平衡离心力 而没有猛拉的感觉。同样，标高的变化率应当是充分渐进的以防止车身过度扭曲。螺旋线 理想的最小长度 (ft) 是由下式确定的长度中较大的

式中 V——在曲线上的最大列车速度 (mi/h);

E_u——不平衡超高 (欠量) (in);

E_a——外轨的标高 (in)。

(《铁道工程手册》，美国铁道工程和线路养护协会。)